-
Di dalam geometri, ada dua jenis problem yang sudah kita kenal, yaitu 1). Problem to Find, dan 2) Problem to Proof. Selain dua jenis problem yang sudah disebutkan, ada jenis problem lain yang sangat penting dalam geometri khususnya. Problem ini menjadi pembuka sebelum seseorang melangkah menuju problem to find atau problem to proof. Problem ini saya sebut sebagai problem to drawn.
Memang, tidak semua problem dalam geometri membutuhkan gambar dalam penyelesaiannya.
Contoh:
Suatu balok memmpunyai ukuran panjang = 20 cm, lebar = 10 cm, dan tinggi = 10 cm. Berapakah ukuran volum balok tersebut?
Pada permasalahan di atas, peran gambar tidak membantu menyelesaikan. Atau dengan kata lain, tanpa kita menggambar balok tersebut, kita sudah dapat menyelesaikan problem tersebut. Tetapi seringkali gambar harus dihadirkan, dikonstruksi untuk memperjelas mental image, sehingga akan membantu seseorang dalam menyelesaikan masalah geometri tersebut.
Problem dalam geometri ruang, baik pada jenjang sekolah menengah, maupun perguruan tinggi banyak melibatkan objek representasi geometri yang disebut kubus. Sering kita melihat kubus yang digambar tampak seperti balok, siswa atau guru dalam menggambar tidak menggunakan alat gambar (penggaris) dan kesalahan-kesalahan lain yang sifatnya teknis maupun konsep. Maka pada tulisan ini saya akan mencoba “meluruskan” beberapa kesalahan-kesalahan kecil yang berakibat fatal dalam langkah penyelesaian permasalahan berikutnya. Lihat ilustrasi di bawah ini.
Gambar 1: Representasi kubus yang kurang baikPada gambar 1, sekilas kubus ABCD.EFGH sudah terlihat baik. Penamaan titik-titik ABCD.EFGH dari bagian alas, berlawanan jarum jam. Rusuk AD, DC, HD sudah dibuat putus-putus yang menandakan rusuk tersebut ada pada bagian yang tidak tampak. Gambar tersebut juga tidak tapak seperti balok. Tetapi kubus yang seperti ini, biasanya tidak bisa digunakan dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan, tetapi akan mengaburkan dan mungkin membingungkan ketika menempatkan unsur-unsur yang diketahui dalam soal. Untuk mengecek kubus tersebut bisa atau tidak digunakan dalam menyelesaikan masalah (seringnya), cobalah untuk menghubungkan titik A dan G dengan sebuah garis atau ruas garis. Jika ada garis-garis yang berhimpit dengan AG, maka kubus tersebut dikategorikan kurang bagus, dan lagi-lagi dikatakan seringnya tidak akan membantu dalam menyelesaikan masalah.
Gambar 2: Representasi kubus yang baikRepresentasi kubus yang lebih baik ditunjukkan pada gambar 2 di atas. Nah untuk mendapatkan gambar kubus yang kategorinya baik, setidaknya ada aturam umum yang perlu diperhatikan, yakni:- Perbandingan orthogonal pada kisaran 1/2
- Sudut surutnya pada kisaran 30 – 40 (derajat)
Kalau kita sudah dapat menggambar kubus dengan baik, maka dikatakan gambar dapat membantu memperjelas seseorang dalam menyelesaikan masalah dalam geometri, khususnya yang melibatkan kubus.
-
Setelah pada artikel bagian 1 menjelaskan tentang penyiapan, definisi, dan tips sebelum mempelajari Geometri Non Euclid, khususnya Geometri Spherical, pada bagian ini kita akan memasuki teorema-teorema yang ada pada Geometri Spherical. Teorema ini dilengkapi dengan bukti dan ilustrasi atau representasi yang sangat jelas pada link di bawah teorema yang disajikan.
Teorema 1
Jika sebarang garis l pada geometri eliptik, kemudian terdapat paling sedikit satu titik P sehingga setiap garis menghubungakan P ke sebuah titik di l yang tegak lurus dengan l dan P berjarak sama dari semua titik di l.
Representasi dan bukti dari teorema 1, klik di sini.
Teorema 2
Pada sebarang segitiga siku-siku di geometri eliptik, setiap dua sudut yang lain mempunyai besar sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih dari sudut siku-siku tergantung dari apakah sisi yang berlawanan itu mempunyai panjang sisi kurang dari, sama dengan, atau lebih dari jarak kutubnya.
Representasi dan bukti dari teorema 2, klik di sini.
Teorema 3
Pada geometri eliptik sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen dan tumpul.
Representasi dan bukti dari teorema 3, klik di sini.
Teorema 4
Pada geometri eliptik sudut keempat dari segiempat Lambert adalah tumpul.
Representasi dan bukti dari teorema 4, klik di sini.
Teorema 5
Pada geometri eliptik, jumlah sudut dari segitiga siku-siku adalah lebih dari 180 (derajat)
Representasi dan bukti dari teorema 5, klik di sini.
Saya tidak akan menjejali materi yang begitu banyak. Pahami, pelajari, dan resapi terlebih dahulu 5 teorema tersebut. Saya akan sajikan 5 teorema berikutnya pada tulisan saya yang akan datang. -
Program pengolah kata yang paling sering digunakan adalah Ms. Word. Program tersebut biasa digunakan untuk membuat makalah, artikel, atau bahkan buku. Terkadang hasil tulisan yang dihasilkan perlu kita insertkan gambar. Tetapi gambar tersebut adalah gambar yang sifatnya statis. Disisi lain, ada software yang tergaolong dalam Dynamic Software, salahsatunya adalah Cabri 3D. Dengan menggabungkan dua program tersebut, ternyata kita dapat menghasilkan suatu produk artikel, makalah, atau buku dengan gambar yang dinamis di Ms.Word. Berikut adalah cara untuk membuat gabungan program tersebut.Memunculkan Menu DeveloperMenu developper merupkan menu bawaan dari Ms.Office. Tetapi secara default belum di munculkan. Untuk memunculkan menu developer tersebut, ikuti langkag-langkah di bawah ini.- Pilif menu File→Option maka akan muncul jendela Word Option.
- Pilih Custumize Ribbbon, dan pada kolom main tab, berikan tanda centrang pada developper.
3. Jika langkah yang dilakukan benar, maka menu developer akan langsung terlihat di layar pada barisan menu.
Selamat Mencoba
Membuat file Ms. Word dengan Insert Gambar Dinamis Cabri 3D
Kita bisa membawa atau menggabungkan file Cabri 3D dengn MS Office yang sering digunakan, baik Ms. Word, maupun Ms. PowerPoint. penggabungan ini membuat objek-objek yang ada di Ms. Word maupun Ms.PowerPoint tidak statis, tetapi dinamis. Bisa kita manipulasikan, bisa diputar seperti pada file Cabri 3D aslinya. Berikut langkah-langkah yang bisa dilakukan.
1. Klik menu developer→legecy Control→Active X Control
Sehingga akan muncul jendela More Controls, klik Cabri 3D, dan klik OK.
maka akan muncul logo Cabri 3D seperti tampak pada gambar di bawah ini.
2. Langkah selanjutnya adalah, klik kanan pada logo Cabri 3D →cabri3activateDoc Object→Import.
Maka muncul jendela open. Pilihlah lokasi file cabri yang hendak di import, dan klik open
3. Sehingga muncul file seperti yang ada di cabri aslinya. Sampai proses ini, maka proses import sudah berhasil. Anda bisa memutar, objek tersebut layaknya di file cabri yang sesungguhnya.
Dengan klik kanan pada objek tersebut, pilih manipulate.Untuk memutar objek, Klik kanan, tahan, kemudian geser mouse tersebut. -
Geometri Spherical merupakan salahsatu dari Geometri Non Euclid, sebagai akibat dari kontroversi aksioma kelima Euclid. Beberapa orang lebih suka menyebut sebagai geometri Bola, Geometri Riemann, atau Geometri Eliptik. Ada beberapa hal mendasar yang harus dilakukan ketika akan belajar Geometri Spherical. Hal-hal yang dimaksud adalah:
- Bidang gambar
- Aksioma
- A straight line can be drawn between any two points.
- Any finite straight line can be extended indefinitely in a straight line.
- For any line segment, it is possible to draw a circle using the segment as the radius and one end point as the center.
- All right angles are congruent (the same).
Pada kesempatan ini, hanya akan di bahas untuk model eliptik ganda, yaitu dengan bidang gambar berupa bola.
Gambar 1: Representasi objek titik, segmen, dan garis dalam geometri SphericalTabel 1: Keterangan representasi objek dalam geometri Spherical
Sifat Kutub pada Bidang Geometri Eliptik
Seperti halnya dalam geometri Euclid dan Lobachevski, geometri eliptik memenuhi beberapa hal berikut.
- Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang melalui sebuah titik yang diberikan, jika titik tersebut terletak pada garis yang diberikan.
- Tetapi sifat di atas tidak terpenuhi, jika titik tersebut tidak berada pada garisyang diketahui, karena sebarang dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan berpotongan.
- Untuk setiap garis lpada bidang geometri eliptik, ada titik polar K sedemikian sehingga semua garis yang melalui K akan tegak lurus dengan l. Jadi, semua lingkaran besar pada bola dunia melalui kutub utara yang tegak lurus dengan ekuatornya.
Gambar 2: Kutub pada geometri Spherical
Sifat Kutub
Misalkan l adalah suatu garis. Maka ada suatu titik K yang disebut kutub dari l sedemikian hingga:
- setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l,
- K berjarak sama dari setiap titik pada l.
Pada kajian berikutnya, kita akan masuk ke dalam Teorema-teorema yang terdapat dalam geometri Spherical beserta pembuktiannya.
-
Saya tidak akan meninjau terlalu jauh kepada temuan dan ciptaanya yang tertuang dalam sembilan buku, tentang geometri bidang, geometri ruang, besaran dan rasio, serta bilangan bulat. Tentang teoremanya yang berjumlah 465. Tidak salah kalau beliau disebut sebagai “father of geometry“. Tetapi saya sedikt belajar kepada beliau karena dia mampu membuka peluang bagi matematikawan-matematikawan lainnya untuk “sangsi” atau ragu terhadap ungkapannya melalui lima aksiomanya.
Coba perhatikan 5 aksioma berikut ini.
- A straight line can be drawn between any two points.
- Any finite straight line can be extended indefinitely in a straight line.
- For any line segment, it is possible to draw a circle using the segment as the radius and one end point as the center.
- All right angles are congruent (the same).
- If a straight line falling across two other straight lines results in the sum of the angles on the same side less than two right angles, then the two straight lines, if extended indefinitely, meet on the same side as the side where the angle sums are less than two right angles.
Itulah matematikawan sejati, ilmuwan hebat, yaitu orang-orang yang mampu membuka peluang bagi generasi-generasi berikutnya untuk berpikir mencari kebenaran-kebenaran lain. -
Sudah menjadi komitmen, untuk membantu dan membuka konsultasi atau tanya jawab seputar olimpiade matematika untuk jenjang SD atau SMP. Walaupun demikian tetap saja kaget ketika secara tiia-tiba rekan guru, sebut bu Amel dari SD Al Azhar 16 Cilacap berkirim pesan melalui Whatsup (07-03-2016). Begini isi pesannya.
Pak Hery, mau tanya. “Dari 20 siswa , 14 orang berkacamata, 15 orang berambut lurus, 17 orang berat badan di atas 30 kg, dan 18 orang tinggi lebih dari 120 cm. Paling sedikit terdapat berapa siswa yang mempunyai kriteria 4 sifat tersebut?”
Mendapat pertanyaan secara tiba-tiba yang nota bene bukan merupakan soal geometri, maka saya langsung balik bertanya, “soal ini muncul untuk jenjang SD atau SMP?”.
Pertanyaan ini saya lontarkan, karena saya mencoba akan menjawab dengan logika sesuai dengan jenjangnya. Yah, soal ini bisa diberikan kepada jenjang SD, jenjang SMP, Jenjang SMA, ataupun jenjang Perguruan Tinggi. Saya tidak menginginkan ketika memberikan respon menjadi tidak tepat. Saya tidak menginginkan adanya suatu lompatan kognitif, yang mengakibatkan tidak terpahaminya dengan baik penyelesaian ataupun konsep tersebut.
Kemudian munculah balasan dari bu Amel, bahwa soal tersebut untuk anak SD.
Oke, berikut salahsatu alternatif bagaimana menjawab pertanyaan tersebut dengan cara manual siswa SD, yaitu dengan membuat Tabulasi. (jawabana muncul secara spontanitas dalam pikiran saya), pastinya ada cara yang lebih baik dari alternatif jawaban ini.
Keterangan:
KM = berkaca mata sebanyak 14 orang
L = berambut lurus sebanyak 15 orang
BB = memiliki berat badan lebih dari 30 kg sebanyak 17 orang
T = memiliki tinggi badan lebih dari 120 cm sebanyak 18 orang
Mulai bekerja dengan memasukaan satu persatu apa yang diketahui. Misal anak yang berkacamata sebanyak 14, maka yang tidak berkacamata ada 6 orang. Didapatlah hasil sebagai berikut.
Kemudian diteruskan dengan anak yang berambut lurus 15 orang, maka yang tidak berambut lurus ada 5 orang. Karena pertanyaannya adalah paling sedikit berapa banyak siswa, maka mulailah memberi tanda “ü” di bawah tanda “x” pada baris sebelumnya. Lihat tabel di bawah ini.
Langkah tersebut di teruskan utuk baris berikutnya. Utamakan untuk memberi tanda “ü” pada kolom yang mempunyai tanda “x”. Inilah hasil tabel lengkapnya.
Tampak bahwa terdapat empat anak yang memiliki 4 kriteria yang disebutkan (yang berwarna kuning).
Jadi jawabnya adalah paling banyak ada 4 anak yang memiliki kriteria berkacamata, berambut lurus, memilki berat badan lebih dari 30 kg, dan memilki tinggi badan lebih dari 120 cm.
SEMOGA BERMANFAAT
-
Untuk mengetahui Hasil Seleksi Tahap I OSN SD Tingkat Provinsi Jawa Tengah Tahun 2016 silahkan klik gambar di bawah ini. - See more at: http://pdkjateng.go.id/main/read/1/dikdas/1004/hasil-seleksi-tahap-i-osn-sd-tingkat-provinsi-jawa-tengah-2016#sthash.LHUtG4V2.dpufUntuk mengetahui Hasil Seleksi Tahap I OSN SD Tingkat Provinsi Jawa Tengah Tahun 2016 silahkan klik gambar di bawah ini. - See more at: http://pdkjateng.go.id/main/read/1/dikdas/1004/hasil-seleksi-tahap-i-osn-sd-tingkat-provinsi-jawa-tengah-2016#sthash.LHUtG4V2.dpuf
Kota Solo menjadi pilihan Dinas Pendidikan Propinsi Jawa Tengah dalam ajang seleksi Tingkat Propinsi untuk Bidang Matematika dan IPA. Peserta seleksi yang diikuti oleh masing-masing bidang berjumlah 105 merupakan perwakilan 3 siswa terbaik disetiap kota dan kabupaten. Seleksi tersebut dilangsungkan pada tanggal 2 Maret 2016 bertempat di Hotel Dewangsa. Dari seleski ini diambil 40 peserta terbaik dengan nilai tertinggi untuk selanjutnya mengikuti training camp selama beberapa kali. Untuk mengetahui hasil seleksi OSN SD Bidang Matematika Tahun 2016 dapat di unduh di sini.Bagi bapak/ibu guru pendamping maupun siswa, dapat mengunduh soal yang digunakan dalam seleksi tersebut pada menu "DOWNLOAD".Untuk mengetahui Hasil Seleksi Tahap I OSN SD Tingkat Provinsi Jawa Tengah Tahun 2016 silahkan klik gambar di bawah ini. - See more at: http://pdkjateng.go.id/main/read/1/dikdas/1004/hasil-seleksi-tahap-i-osn-sd-tingkat-provinsi-jawa-tengah-2016#sthash.LHUtG4V2.dpUntuk mengetahui Hasil Seleksi Tahap I OSN SD Tingkat Provinsi Jawa Tengah Tahun 2016 silahkan klik gambar di bawah ini. - See more at: http://pdkjateng.go.id/main/read/1/dikdas/1004/hasil-seleksi-tahap-i-osn-sd-tingkat-provinsi-jawa-tengah-2016#sthash.LHUtG4V2.dpuf
